Ejercicio 7.1

En un recipiente de \(3m^3\) hay metano (\(CH_4\)) a una temperatura de 250K y una presión de 70bar. Calcular:

1. Las constantes de la ecuación de Van der Walls, sabiendo que la presión y temperatura críticas del metano son respectivamente, \(p_c = 46,4 bar\) y \(T_c = 190,7K\).
2. La masa contenida en el recipiente aplicando la ecuación de gas ideal y la ecuación de Van der Walls.
3. Lo mismo que en el apartado anterior, pero suponiendo que la presión del metano es 1bar y su temperatura es 650K

Solución

1. De las ecuaciones anteriores tenemos que las constantes de la ecuación de Van der Walls vienen dadas en función de la presión y temperatura crítica por

\[a = \frac{27}{64}\frac{R^2T_c^2}{p_c}\]

y

\[b = \frac{RT_c}{8p_c}\]

quedando en este caso

\[a = \frac{27}{64} \frac{518,3^2 \cdot 190,7^2}{46,4\cdot 10^5} = 888,24\frac{Pa\cdot m^6}{kg^2}\]

y

\[b = \frac{518,3\cdot 190,7}{8\cdot 46,4 \cdot 10^5} = 0,00266\frac{m^3}{kg}\]

2. Utilizando la ecuación de gas ideal se obtiene que

\[pv = RT\]

se obtiene que

\[v = \frac{RT}{p} = \frac{518,3 \cdot 250}{70 \cdot 10^5} = 0,0185 \frac{m^3}{kg}\]

y por tanto, la masa contenida en el recipiente es

\[m = \frac{V}{v} = \frac{3}{0,0185} = 162,16kg\]

Utilizando la ecuación de Van der Walls

\[\left( p + \frac{a}{v^2} \right) \cdot (v-b) = RT\]

queda

\[\left( 70\cdot 10^5 + \frac{888,24}{v^2}\right) \cdot (v-0,00266) = 518,3 \cdot 250\]

es decir

\[\left( 70\cdot 10^5 + \frac{888,24}{v^2}\right) \cdot (v-0,00266) = 129575\]

que resolviendo por el método de prueba y error u otro cualquiera da

\[v = 0,01371 \frac{m^3}{kg}\]

y la masa es

\[m = 218,8kg\]

Se observa una gran diferencia entre los resultados obtenidos por los dos procedimientos. Esto se debe a que cuando la presión es alta y la temperatura es baja, el gas no tiene un comportamiento ideal.

3. Si la presión es de 1bar y la temperatura es 650K, procediendo de forma análoga al apartado anterior se obtiene, utilizando la ecuación de gas ideal

\[v = 3,37 \frac{m^3}{kg}\]

y por tanto

\[m= 0,89kg\]

Utilizando la ecuación de Van der Wails se obtiene

\[v=3,37\frac{m^3}{kg}\]

y la masa contenida sale

\[m = 0,89kg\]

Se puede observar que en este caso, en el que la presión es baja y la temperatura es alta, y por tanto el gas tiene un comportamiento ideal, las masas calculadas mediante los dos procedimientos coinciden, al contrario de lo que ocurría en el caso anterior.