Se ha de comprimir un gas monoatómico en un compresor que funciona en régimen estacionario, de forma reversible y a temperatura constante.
El gas entra al compresor a 300 K y 10 bar y se comprime hasta 150 bar.
Determínese:
\[\begin{split}a &= 0.385 \frac{K m^3}{kmol} \\
b &= 0.0152 \frac{K m^3}{kmol}\end{split}\]
Relaciones termodinámicas generalizadas.
Solución
- Sistema: Volumen de control definido por la carcasa del compresor. * Interacciones: Las esquematizadas en la figura.
- Proceso: El representado en el diagrama.
- Ecuaciones aplicables: las (4.11) y (4.20)
\[\begin{split}q &= h_{ts} - h-{te} - w_x \\
\sum_i \frac{Q_i}{T_i} &= \sum_s s \left. \dot{m} \right|_s — \sum_e s \left. \dot{m} \right|_e\end{split}\]
En el caso que estamos considerando sólo hay una entrada y una salida y puede considerarse que únicamente se intercambia calor con una fuente térmica a 300K (proceso isotérmico), por lo que:
\[\frac{\dot{Q}}{T} = (s_s-s_e) \dot{m}\]
de donde:
\[q = T (s_s -s_e)\]
En esta ecuación podemos considerar valores por unidad de masa o por unidad de cantidad de sustancia (mol). Para el problema que nos ocupa conviene utilizar el mol.
Se ha de calcular \(w_x\) y \(q\), por lo que, según (4.11) y (E.6.2.a):
\[\begin{split}w_x &= \Delta h - q \\
q &= T \Delta s\end{split}\]
Vemos que, calculado el incremento de entropía, puede determinarse \(q\) y una vez conocido \(q\) y calculado \(Dh\), se podrá determinar el trabajo.
Para calcular \(\Delta s\) y \(\Delta h\), recordemos que según (6.43) y (6.45):
\[\begin{split}ds &= \frac{c_p}{T} dT - \left( \frac{\partial v}{\partial T}\right)_p dp \\
dh &= c_p dT + \left[ v-T\left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_p\right] dp\end{split}\]
para un proceso a temperatura constante:
\[\begin{split}ds_T = - \left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_p dp \\
dh_T = \left[ v - T \left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_p\right] dp\end{split}\]
- En el caso de gas perfecto:
\[\begin{split}pv &= RT \\
v &= \frac{RT}{p} \\
\left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_p &= \frac{R}{p}
ds_T = - \frac{R}{p}dp \\
s_2-s_1 = -8.314 \int_10^150 \frac{dp}{p} = R \ln \frac{150}{10} = -22.51 \frac{kJ}{kmol} \\
dh_T = \left[ v-T\frac{R}{p} \right] dp = 0 \\
\Delta h = 0 \\
q = TDs = 300(-22.51) = -6754.42 \frac{kJ}{kmol} \\
w_x = Dh -q = 0+6754.42 = 6754.42 \frac{kJ}{kmol}\end{split}\]
- Gas real:
\[\begin{split}pv = RT -\frac{a}{T} p +bp \\
v = \frac{RT}{p}-\frac{a}{T}+b \\
\left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_p = \frac{R}{p}+\frac{a}{T^2} \\
\left[ v-T \left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_p\right] = v- \frac{RT}{p}-\frac{a}{T} = \frac{RT}{p}-\frac{a}{T}+b-\frac{RT}{p}-\frac{a}{T} = - \frac{2a}{T}+b \\
ds_T = - \left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_p= -\left( \frac{R}{p} + \frac{a}{T^2} \right) dp \\
\Delta s = \int_10^150 - \left( \frac{R}{p} + \frac{a}{T^2} \right ) dp \\
\Delta s_T = -8.314 \ln \frac{150}{10} - \frac{0.385}{300^2}(150-10) 10^2 = -22.57 \frac{kJ}{kmol \cdot K } \\
dh_T = \left[ v- T \left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_p\right] dp = \left( b-\frac{2a}{T} \right) dp \\
\Delta h_T = \int_10^150 \left(b- \frac{2a}{T} \right) dp = \\
= b(150-10)10^2-\frac{2a}{300}(150-10)10^2= 176.86\frac{kJ}{kmol} \\
q = -300 \cdot 22.57 = -6772.38\frac{kJ}{kmol} \\
w_x = 176.86 - (-6772.38) = 6949.24\frac{kJ}{kmol}\end{split}\]
