Enunciados del segundo principio

Con las consideraciones hechas anteriormente, podemos ya enunciar la segunda ley de la termodinámica. Hay dos enunciados clásicos de este principio conocidos como enunciado de Kelvin-Planck y enunciado de Clausius.

Enunciado de Kelvin-Planck del segundo principio

Es imposible construir un dispositivo que, funcionando cíclicamente, no produzca otro efecto que extraer calor de un fuente térmica y realizar una cantidad equivalente de trabajo

Enunciado de Clausius del segundo principio

No es posible construir un dispositivo que funcione cíclicamente y no produzca otro efecto que el paso de calor de un cuerpo frío a otro más caliente

De los enunciados del segundo principio vemos que un dispositivo que funcione según un ciclo termodinámico y del que se obtenga trabajo debe intercambiar calor, al menos, con dos fuentes térmicas. Y que si lo que se quiere es transferir, con un dispositivo que trabaje cíclicamente, calor desde una fuente térmica a otra a mayor temperatura, hay que suministrar a ese dispositivo una cierta cantidad de trabajo.

Motor térmico

Definimos un motor térmico como un dispositivo que funciona según un ciclo termodinámico y que proporciona un cierto trabajo como resultado del intercambio de calor entre dos fuentes térmicas una a alta y otra a baja temperatura, ver figura 3.1.

Motor térmico

Definiendo el rendimiento del motor como el cociente entre el trabajo que da el motor, W, y el calor que recibe de la fuente térmica de alta temperatura, \(Q_1\), podremos escribir:

\[\eta_{mot} = \frac{W}{Q_1}\]

y, del balance de energía aplicado al motor (primer principio), se obtiene

\[Q_1-Q_2 -W = 0\]

en donde los valores de W, \(Q_1\) y \(Q_2\) están considerados en sus valores absolutos, considerándose positivos según las flechas de la figura. Así pues, podremos poner

\[\eta_{mot} = \frac{Q_1-Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}\]

En términos del rendimiento de un motor térmico el enunciado de Kelvin-Planck del segundo principio diría que no es posible ningún motor térmico cuyo rendimiento sea la unidad.

Máquina refrigeradora

De manera análoga, una máquina refrigeradora la definimos como un dispositivo que funciona según un ciclo termodinámico y que el trabajo que se le aporta lo invierte en extraer una cierta cantidad de calor \(Q_2\) de una fuente a baja temperatura y ceder otra cantidad de calor \(Q_1\) a otra fuente a temperatura mayor.

Máquina refrigeradora

Si aplicamos el balance energético a este dispositivo, obtenemos:

\[-Q_1+Q_2+W = 0\]

Definiendo el rendimiento de refrigeración, COP, como el cociente entre el calor extraído y el trabajo suministrado, se tendrá que

\[COP_{MF} = \frac{Q_2}{W}\]

El enunciado de Clausius del segundo principio podría enunciarse diciendo que no es posible ninguna máquina refrigeradora cuyo COP sea infinito.

Equivalencia entre estos dos enunciados

Aunque, en principio, ambos enunciados parecen no tener relación alguna, vamos a demostrar que son equivalentes y, por lo tanto, pueden utilizarse uno u otro indistintamente según convenga.

En la demostración que sigue designaremos por K la veracidad del enunciado de Kelvin-Planck y por C la de Clausius. La falsedad de cada uno de ellos los designaremos por \(\bar{K}\) y \(\bar{C}\).

Se trata de demostrar la equivalencia lógica de ambos postulados esto es \(K\Leftrightarrow C\), lo que equivale a demostrar:

1. que \(K\Rightarrow C\) y
2. que \(C\Rightarrow K\).

\(K\Rightarrow C\)

Demostrar lo primero, esto es ,que el enunciado de Kelvin-Planck es equivalente al de Clausis es lo mismo que demostrar que el no cumplimiento del de Clausius es equivalente al no cumplimiento del de Kelvin-Planck. \((K \Rightarrow C) \Leftrightarrow (\bar{C}\Rightarrow \bar{K})\)

Consideremos una máquina frigorífica que pase una cantidad de calor \(Q_2\) desde la fuente fría a la caliente sin necesidad de aportar trabajo, lo que constituye \(\bar{C}\).

Consideremos a su vez un motor térmico que trabajando entre las dos mismas fuentes cede \(Q_2\) a la fuente fría. El conjunto máquina frigorífica-motor térmico se comporta como un dispositivo, que funciona cíclicamente, productor de trabajo intercambiando calor con una sóla fuente térmica (\(\bar{K}\)). Figura 3.3.

Así pues el no cumplimiento del enunciado de Clausius es lo mismo que el no cumplimiento del de Kelvin-Planck: \(\bar{C}\Rightarrow\bar{K}\)

Demostración de \(\bar{C}\Rightarrow\bar{K}\)

\(C\Rightarrow K\)

De manera análoga podemos probar que \((C\Rightarrow K) \Leftrightarrow (\bar{K}\Rightarrow\bar{C})\)

Demostración de \(\bar{K}\Rightarrow\bar{C}\)

Para ello consideremos un motor que extrayendo la cantidad de calor \((Q_1-Q_2)\) de una fuente térmica a temperatura \(T_1\) lo transforme íntegramente en trabajo \((\bar{K})\).

Si este trabajo se emplea en una máquina frigorífica que extraiga \(Q_2\) de una fuente térmica a \(T_2\) y ceda a la fuente \(T_1\) \((T_1>T_2)\) una cantidad de calor \(Q_1\), el conjunto motor-refrigerador constituye un dispositivo que, funcionando cíclicamente, hace pasar una cantidad de calor \(Q_2\) de una fuente térmica a otra de mayor temperatura sin aportar trabajo al dispositivo (\(\bar{C}\)). Así pues, \(\bar{K}\Rightarrow\bar{C}\). Figura 3.4

Con a) y b) queda demostrada la equivalencia entre los enunciados de Kelvin-Planck y de Clausius.