En el proceso de acondicionamiento de un edificio se han de mezclar adiabáticamente \(75\frac{m^3}{min}\) de aire exterior a 30°C y 80% de humedad relativa con \(100\frac{m^3}{mm}\) de aire interior tratado a 19°C y 30% de humedad relativa.
Resolver el problema analítica y gráficamente suponiendo que la presión se mantiene igual a 1bar.
Solución
Antes de nada vamos a calcular los gastos, humedad, y entalpia en las entradas.
De la ecuación (10.6)
\[p_v = \phi \cdot p^*\]
y con los valores de \(p^*\) obtenidos de las tablas de propiedades termodinámicas del agua en saturación
\[\begin{split}p_1^* = 0.04246bar \\
p_2^* = 0.02198bar \\
p_{v_1} = 0.8 \cdot 0.04246 = 0.033968bar \\
p_{v_2}= 0.3 \cdot 0.02198 = 0.006594bar\end{split}\]
y por tanto
\[\begin{split}p_{a_1} = 1-0.033968 = 0.966bar \\
p_{a_2} = 1-0.006594 = 0.993bar\end{split}\]
De la ecuación de estado \(p\cdot \dot{V} = \dot{m} \cdot R \cdot T\) para el aire queda
\[\begin{split}\dot{m_{a_1}} = \frac{p_{a_1 \dot{V}_1}}{R_a T_1} = \frac{0.966 \cdot 10^5 \cdot 75}{287 \cdot 303} = 83.31\frac{kg}{min} \\
\dot{m_{a_2}} = \frac{p_{a_2 \dot{V}_2}}{R_a T_2} = \frac{0.993 \cdot 10^5 \cdot 100}{287 \cdot 292} = 118.5 \frac{kg}{min}\end{split}\]
Para calcular la humedad recurrimos a la ecuación (10.4) puesta en la forma
\[\begin{split}\omega = 0.622 \frac{p_v}{p_a} \\
\omega_1 = 0.622 \frac{0.033968}{0.966} = 0.02187\frac{kg}{kg} \\
\omega_2 = 0.622 \frac{0.006594}{0.993} = 118.5\frac{kg}{min}\end{split}\]
Para calcular las entalpias recurrimos a la ecuación (10.17)
\[\begin{split}h = c_{p_a} \theta + \omega [h_{lv}(\theta_{ref}) + c_{p_v} \theta] \\
h_1 = 1.005 \cdot 30 + 0.02187 [2501.4 + 1.82 \cdot 30] = 86.05 \frac{kg}{kg} \\
h_2 = 1.005 \cdot 19 + 0.004130 [2501.4+1.82 \cdot 19] = 29.57\frac{kJ}{kg}\end{split}\]
- De la ecuación (10.66)
\[\omega_3 = \frac{\dot{m}_{a_1} \omega_1 + \dot{m}_{a_2} \omega_2 }{ \dot{m}_{a_1} + \dot{m}_{a_2}} = \frac{83.31\cdot 0.02187 + 118.5 \cdot 0.004130}{83.31+118.5} = 0.01145\frac{kg}{kg}\]
- De la ecuación (10.66)
\[h_3 = \frac{\dot{m}_{a_1} h_1 + \dot{m}_{a_2} h_2 }{ \dot{m}_{a_1} + \dot{m}_{a_2}}\]
y como \(h_3 = c_{p_a} \theta_3 + \omega_3[h_{lv}(\theta_{ref}) + c_{p_v} \theta_3]\) queda
\[\begin{split}\theta_3 = \frac{ \frac{\dot{m}_{a_1} h_1 + \dot{m}_{a_2} h_2 }{ \dot{m}_{a_1} + \dot{m}_{a_2}} - \omega_3 h_{lv}(\theta_{ref}) }{c_{p_a} + \omega_3 c_{p_v}} \\
\theta_3 = \frac{ \frac{83.31 \cdot 86.05 + 118.5 \cdot 29.57 }{ 83.31 + 118.5} - 0.01145 \cdot 1501.4 }{1.005 + 0.01145 \cdot 1.82} \\
\theta_3 = 23.6°C \\
h_3 = 52.88 \frac{kJ}{kg}\end{split}\]
- Utilizando la definición de temperatura húmeda y para el proceso de saturación 3 — 3’
\[h_3 + (\omega_{3'} ~ \omega_3 )h_l = h_{3'}\]
y con
\[\omega_{3'} = 0.622 \frac{p_{v_{3'}}}{ p -p_{v_{3'}}} = 0.622 \frac{p^*}{p-p^*}\]
queda
\[52.88 + \left( 0.622 \frac{p^*}{p- p^*} - 0.01145\right) 4.18 \theta_{3'} = 1.005 \theta_{3'} + 0.622 \frac{p^*}{p- p^*} [2501.4 + 1.82 \theta_{3'}]\]
y reordenándola queda
\[0 = 50.225+ \frac{p^*}{p- p^*} [1.394 \theta_{3'} -1477.8] - \theta_{3'} = y\]
Para resolverla se utiliza el método de prueba y error, calculando \(p^*\) en las tablas de propiedades termodinámicas del agua en saturación.
| \(\theta_{3'}\) (°C) |
\(p^*\) (bar) |
y |
|---|
| 20.0 |
0.02339 |
-4.50 |
| 18.0 |
0.02064 |
1.61 |
| 19.0 |
0.02198 |
-1.39 |
| 18.5 |
0.02131 |
0.11 |
Por lo que tomamos \(\theta_{\text{húmeda}} = 18.5°C\)
- De la ecuación (10.6)
\[\phi = \left. \frac{p_v}{p^*} \right|_{p,T}\]
y de la ecuación (10.4)
\[\omega = 0.622 \frac{p_v}{p - p_v}\]
y con \(p^*(23.6°C) = 0.02915bar\) se obtiene
\[\begin{split}\phi &= \frac{ \omega p }{ ( 0.622 + \omega ) p^{*} } = \frac{ 0.01145 \cdot 1 }{ (0.622 + 0.01145) \cdot 0.02915} = 0.62 \\
\phi &= 62\%\end{split}\]
La resolución gráfica se deja como ejercicio.