Variación de entropía en sustancias incompresibles y en gases perfectos

Para líquidos incompresibles:

\[ds = c\frac{dT}{T} \rightarrow s_2-s_1 = c \ln \frac{T_2}{T_1} \hspace{2cm} \left[\frac{J}{kg \cdot K}\right]\]

en donde:

• c: calor específico de la sustancia

Para gases perfectos:

\[s_2-s_1 = c_v \ln \frac{T_2}{T_1} + R\ln \frac{v_2}{v_1} \hspace{2cm} \left[\frac{J}{kg \cdot K}\right]\]

Demostración

Para calcular la variación de entropía de una sustancia determinada no hay más que aplicar la ecuación de Gibbs reordenada en la forma:

\[dS = \frac{dU+pdV}{T}\]

que referida a la unidad de masa o a la unidad de sustancia se escribe:

\[ds = \frac{du+pdv}{T}\]

En el caso de sustancias incompresibles:

\[\begin{split}dv &= 0 \\ du &= cdT\end{split}\]

siendo \(c\) el calor específico de la sustancia incompresible.

Con esto la ecuación de Gibbs queda:

\[ds = c\frac{dT}{T} \rightarrow s_2-s_1 = c \ln \frac{T_2}{T_1} \hspace{2cm} \left[\frac{J}{kg \cdot K}\right]\]

En el caso del modelo de gas perfecto:

\[\begin{split}du &= c_v dT \\ p &= R_g\frac{T}{v}\end{split}\]

con \(c_v\) constante. Así pues, la variación de entropía en un gas perfecto se obtendrá sustituyendo en (3.24) las relaciones (3.26) e integrando entre el instante inicial y final obteniendo:

\[s_2-s_1 = c_v \ln \frac{T_2}{T_1} + R\ln \frac{v_2}{v_1} \hspace{2cm} \left[\frac{J}{kg \cdot K}\right]\]

Sí además del trabajo \(—pdV\) hay otras formas de trabajo cuasi-estático, la ecuación (3.23) se escribirá con más generalidad, en la forma:

\[dU = T dS + \sum_k Y_k dX_k\]

siendo \(Y_kdX_k\) cada uno de los posibles trabajos cuasi-estáticos (ver tema 2).

Se podría actuar de forma análoga para obtener las correspondientes expresiones \(S= S(p, T)\) y \(S=S(p, F)\). Es conveniente que realicen las transformaciones adecuadas a fin de obtener expresiones análogas a la (3.27) en función de las variables \((p, T)\) y \((p, F)\).